Gli aquiloni di Pierino – soluzione del problema pubblicato il 13 luglio 2010

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Cari ragazzi, iniziamo con trovare le dimensioni dei due aquiloni che Pierino vuole progettare.

Dal momento che i tre aquiloni sono simili, proporzionali l’uno all’altro, (vuol dire che ogni aquilone è l’ingrandimento del suo precedente e ne mantiene le proporzioni) basta impostare una proporzione. 

I tre aquiloni mantengono le proporzioni

I tre aquiloni mantengono le proporzioni

40 : 50 = 67 : x          e  poi   40 : 60 = 67 : x

e quindi:   (50×67)/40              (60×67)/40

50 x 67= 3350                              60 x 67 =  4020

3350/40 = 83,75 cm                4020/40 = 100,5 cm

L’altezza del secondo aquilone (AG)  è di 83,75 cm mentre l’altezza del terzo (AG) è di 100,5 cm

Veniamo alle aree. Ci sono almeno tre formule per calcolare l’area del nostro aquilone.

La più semplice:      b x h   ma quale base e quale altezza?  Guardate la figura che ho colorato per voi.

Formula per calcolare l'area dell'aquilone - soluzione 1

Formula per calcolare l'area dell'aquilone - soluzione 1

La base e l’altezza sono i segmenti FB e BC ed ora vi spiego il perchè.

L’area dell’aquilone è formata dall’area del triangolo ABF sommata all’area del poligono FBCED

guardate il disegno, l’area del poligono FBCED è uguale all’area del rettangolo FBCD  a cui è stata sottratta l’area del triangolo ECD.

Quindi l’area dell’aquilone si può scrivere come la somma delle aree di ABF + FBCD -ECD

I due triangoli, però, ABF e ECD, sono congruenti (ovvero uguali). Quindi ABF -ECD =0

L’area perciò è uguale all’area del rettangolo FBCD.

Ovvero 40 x 37 = 1480 cm2

a noi servono i metri quadrati quindi divido per 10000, come giustamente suggeriva Davide.

1480/10000 = 0,1480 m2

A questo punto, per calcolare le aree degli altri due aquiloni devo impostare due nuove proporzioni, perchè mi servono i lati degli aquiloni.

40 : 50 = 37 : x           e           40 : 60 = 37: x     svolgendo le due proporzioni troverete le nuove misure di BC

Soluzione numero 2:  l’aquilone è composto da due rombi, ABCE e AEFD.  per saperlo però dovete capire che il segmento AE è uguale al segmento AB e quindi a tutti i lati dell’aquilone.

Come fate a esserne certi?  I triangoli ABE ed EBC sono congruenti perchè hanno un lato in comune EB, e gli angoli adiacenti uguali, perchè alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale.  Davide se ne è accorto.

Quindi l’area dell’aquilone è uguale a 2 x (area del rombo), non dimentichiamoci che i rombi sono due.

Area dell’aquilone = 2 x (dmin x dmax) : 2

quindi semplificando il 2 che moltiplica con il 2 che divide: D min x D max 

dove D min e D max sono le due diagonali, ovvero i segmenti EB e AC per il rombo di destra, i segmenti AD ed FE per il rombo di sinistra. Per trovare queste dimensioni dovete applicare il teorema di Pitagora ai triangoli ACG e AGD.

Soluzione numero 3: Considerare il rombo come un parallelogramma. In questo caso l’area dei due rombi si calcola facendo base per altezza e la base e l’altezza di ogni rombo sono si segmenti AE e GC per il rombo di destra, e AE e DG per quello di sinistra. I segmenti AE corrispondono a un lato del rombo, quindi sono lunghi 37 cm, il segmento DG è la metà di FB, quindi 20 cm.

Dal momento che i rombi sono due, anche in questo caso l’area va raddoppiata.

Spero che sia tutto chiaro, ma se avete qualcosa da chiedere commentate liberamente.

 

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4 Risposte to “Gli aquiloni di Pierino – soluzione del problema pubblicato il 13 luglio 2010”

  1. elenafavaron Says:

    PS: vi lascio il WE per studiare le soluzioni e provare a svolgere il problema (non ho ancora dato i risultati numerici completi).

    Lunedì completiamo la correzione con i numeri. Così confrontiamo i vostri risultati con i miei e rispondiamo a un secondo quesito.

    Buon fine settimana a tutti!

    Elena Favaron

  2. giovanni Says:

    cara prof,per trovare le altezze ho fatto così 40:67=50:x quindi x=83,75 (h del 2° aquilone) poi 40:67=60:x quindi x=100,5 (h del 3° aquilone). Per trovare le aree ho considerato che il triangolo ABF è congruente al triangolo ECD in quanto la base e i lati sono uguali;quindi l’ area da considerare è quella del rettangolo FBCD, perciò area =bxl (visto che i lati sono tutti uguali!) Ora bisogna trovare i lati mancanti con le proporzioni seguenti 40:37=50:x e 40:37=60:x 1° AREA =40×37= 1480cm*=0,148m* 2° AREA= 46,25×50=2312,5cm*=0,23125m* 3°AREA=55,5×60=3330cm*=0,333m* Il totale della stoffa necessaria è dato dalla somma delle tre aree= m*0,71225.

    • elenafavaron Says:

      Bravissimo Giovanni,

      anche se avevo già scritto la soluzione, tu hai elegantemente ricordato perchè i due triangoli sono congruenti. Hanno tutti e tre i lati uguali.

      Spero che il problema vi sia piaciuto.
      Pierino ora prova a fare gli aquiloni e poi ci dirà quale funziona meglio, nel mentre a me servirebbe il vostro aiuto per scoprire quanti pipistrelli può contenere una bat box, ma di questo parlerò domani, ora vi auguro la buona notte!

      Elena Favaron

  3. Federico fan di Justin Bieber Says:

    bravo Giova

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